Portate a ebollizione una pentola grande di acqua leggermente salata. Cuocete i noodles udon nell'acqua bollente, mescolando occasionalmente, finché i noodles non sono teneri ma ancora al dente, da 10 a 12 minuti. Scolate e risciacquate sotto acqua fredda; mettete da parte.

Mescolate insieme gochujang, 1/4 di tazza di acqua, salsa di soia, sciroppo d'acero e succo di lime in una ciotola. Mettete la salsa da parte.

Scaldate l'olio in un wok o in una padella larga a fuoco medio-alto fino a quando non inizia a tremolare. Aggiungete il cavolo, 1/4 di tazza di cipollotti, aglio, sale e pepe. Cuocete, mescolando costantemente, finché le verdure non sono appena appassite e tenere, e l'aglio e i cipollotti sono lucidi e quasi traslucidi, circa 2 minuti.

Aggiungete la salsa alle verdure e cuocete finché non si è leggermente addensata e scurita nel colore, circa 1-2 minuti.

Aggiungete i noodles cotti e cuocete finché la salsa non bolle, circa 2-3 minuti, aggiungendo gradualmente i restanti 1/4 di tazza di acqua se è necessaria più salsa per ricoprire i noodles.