Scalda il burro, l'olio d'oliva e l'aglio in una grande padella a fuoco medio. Cuoci il pollo nel composto di burro caldo fino a quando non è più rosa al centro e i succhi sono chiari. Togli il pollo e mettilo su un piatto per farlo raffreddare leggermente, poi taglialo diagonalmente a strisce lunghe. Tieni da parte il composto di burro nella padella.

Nel frattempo, porta a ebollizione una pentola grande di acqua salata. Cuoci i linguine nell'acqua bollente fino a quando non saranno teneri ma ancora al dente, circa 11 minuti. Scola e metti da parte.

Riscalda nuovamente il composto di burro nella padella a fuoco medio. Aggiungi la cipolla e soffriggi, mescolando spesso, fino a quando non diventa morbida ma ancora bianca. Aggiungi l'acqua e il dado; porta a ebollizione e lascia sobbollire, scoperto, per circa 10 minuti.

Mescola la panna, il formaggio Parmigiano, il latte e i cipollotti verdi finché la salsa non sarà ben combinata.