Riempi una pentola grande con acqua leggermente salata e porta a ebollizione. Incorpora la pasta e riporta a ebollizione. Cuoci la pasta scoperta, mescolando occasionalmente, fino a quando è tenera ma ancora al dente, circa 10 minuti, o secondo le indicazioni sulla confezione.

Nel frattempo, aggiungi il burro e l'olio in una padella profonda a fuoco alto. Aggiungi le cipolle e cuoci mescolando finché non assumono un po' di colore. Aggiungi lo zucchero, il sale, il pepe, l'aceto e l'acqua, e continua a cuocere a fuoco alto, mescolando costantemente, finché le cipolle non saranno molto morbide e di colore marrone scuro, circa 15 minuti.

Abbassa il fuoco al minimo; aggiungi il latte, l'aglio, il timo e il Parmigiano grattugiato. Frulla la salsa fino a renderla liscia con un frullatore a immersione.