Unisci le cosce di pollo, le carote, le cipolle, il sedano e il brodo in una pentola. Porta a ebollizione a fuoco alto. Riduci il calore a medio-basso, copri e lascia sobbollire per 20 minuti. Gira le cosce, copri e cuoci per altri 20 minuti.

Rimuovi il pollo e trasferiscilo su un piatto. Lascia raffreddare, avvolgi e metti in frigorifero fino al momento dell'uso.

Porta il calore a medio-alto e riduci i liquidi di cottura nella pentola a circa 1/3 di tazza. Filtra il liquido in una ciotola, premendo alcuni dei vegetali cotti attraverso il setaccio.

Condisci il sugo con pepe nero, sale, foglie di timo, scorza di limone e peperoncino. Aggiungi la crème fraîche e le uova e mescola tutto insieme fino a ottenere una pastella liscia.

Metti il pane in una teglia da forno poco profonda abbastanza grande da contenere le fette, e versa sopra la pastella. Mescola diverse volte, avvolgi e metti in frigo per 1 ora o fino a quando quasi tutta la pastella è assorbita.

Preriscalda il forno a 200 gradi C. Rivesti una teglia con carta stagnola e ungila leggermente con burro.

Fai sciogliere il burro in una piccola padella a fuoco medio e tosta il pane per qualche minuto per lato. Trasferisci il pane sulla teglia preparata.

Premi una coscia sopra ogni fetta di pane. Spennella sopra la pastella in eccesso. Cospargi di sale, cospargi di formaggio Parmigiano e finisci con una spolverata di peperoncino.

Cuoci nel forno preriscaldato fino a doratura, 30-35 minuti.

Mescola insieme lo sciroppo d'acero, la salsa piccante Sriracha e il peperoncino in una piccola ciotola per creare 'sciroppo di drago'.