Mettere il pollo in una pentola olandese. Aggiungere acqua, carota, sedano, cipolla, 3 rametti di timo e foglia di alloro. Portare a ebollizione, coprire, ridurre il calore a basso e lasciare sobbollire per 1 ora. Rimuovere il pollo dalla pentola e trasferirlo in una ciotola; mettere da parte per raffreddare.

Aumentare il calore e portare il brodo a una leggera ebollizione. Togliere qualsiasi grasso di pollo che appare sulla superficie del brodo e conservarlo in una ciotola. Combinare 2 o 3 cucchiai di grasso riservato con la farina in una piccola ciotola; mescolare per fare una pasta, aggiungendo più farina se necessario. Aggiungere il composto di grasso di pollo e farina al brodo. Ridurre il calore, cuocere a fuoco lento per 15 minuti.

Rimuovere la carne di pollo dal corpo e aggiungerla al brodo. Condire con sale, pepe nero e pepe di Cayenna a piacere. Continuare a sobbollire per 10-15 minuti.

Sbattere crème fraîche, latte, 2 cucchiaini di foglie di timo e uova insieme in una ciotola grande. Incorporare gradualmente la farina autolievitante fino a quando non è quasi completamente incorporata; non mescolare troppo.

Versare grandi cucchiaiate dell'impasto per gnocchi sopra il brodo di pollo. Aumentare leggermente il calore a medio-alto. Coprire e cuocere a fuoco lento finché gli gnocchi non sembrano leggeri e soffici, e uno stuzzicadenti inserito al centro esce pulito, per 10-15 minuti.