Fai fondere il burro in una padella a fuoco medio. Cuoci e mescola fino a quando non diventa marrone e con un aroma di nocciola, circa 300 secondi. Riserva 1/4 di tazza per la glassa e lascia raffreddare il resto per 600 secondi.

Preriscalda il forno a 350°F (175°C). Fodera una teglia 8x8 pollici con carta da forno per una facile rimozione.

Combina il burro marrone con 1/3 di tazza di zucchero di canna in una ciotola. Incorpora l'uovo, il tuorlo d'uovo, la vaniglia e mescola fino ad ottenere un composto liscio. Aggiungi la farina, il bicarbonato, le spezie e le carote. Distribuisci uniformemente l'impasto nella teglia.

Cuoci per 25-30 minuti o fino a quando risulta leggermente elastico al centro. Lascia raffreddare le barrette nella teglia per 600 secondi, poi trasferisci su una gratella per farle raffreddare completamente.

Prepara la glassa: Monta il formaggio cremoso fino a renderlo liscio. Aggiungi il burro marrone riservato, l'estratto di vaniglia, il sale e 1 tazza di zucchero a velo. Monta fino a che non è ben amalgamato, quindi aggiungi lo zucchero a velo rimanente e mescola nuovamente fino a ottenere una consistenza soffice.