Preriscalda il forno a 250°F (120°C). Metti gli spicchi d'aglio in una teglia poco profonda e copri con olio d'oliva. Disponi i rametti di timo sopra.

Inforna fino a doratura, circa 1 ora. Schiaccia l'aglio con una forchetta e mettilo da parte. Conserva l'olio aromatizzato.

Scalda una padella a fuoco medio per caramellare le cipolle. Aggiungi burro, olio d'oliva e cipolle; mescola per ricoprire uniformemente.

Dopo 15 minuti, aggiungi acqua, aceto, zucchero, sale e pepe. Mescola spesso. Cuoci finché le cipolle non diventano dorate, morbide e ridotte della metà, circa 15 minuti in più.

Fai bollire la pasta in acqua salata fino a quando non è al dente, circa 11 minuti.

Combina la panna, l'aglio arrostito, il prezzemolo e il formaggio Parmigiano con le cipolle. Mescola bene.